ニュートン法型漸化式の一般項を求める

ニュートン法型漸化式

以下の問題を考えます。

背景

ニュートン法で平方根の近似値を求める漸化式が背景になっています。この漸化式自体は大学入試の過去問にも出ることがあってその時は「一般項を求めることができない数列の極限を求める」という趣旨でしたがなんとか一般項を求められないかと試行錯誤した結果、めでたく求めることができました。

ちなみにこの漸化式を解くのに使った手法は のような漸化式に三角関数を使うと解ける方法を参考にしました。下にある解答を見てくださった方はそんなものどこにも出てきてないじゃないかと思われたかもしれませんが、変形の仕方によっては すなわちインバースハイパボリックタンジェントというめったに出てくることのない関数の「2倍角の公式」を使いました。 この記事が伸びたらそのことも記事にしようと思っています。

解答

（画像をタップ or クリックで pdf を表示可能です）（2022/09/19追記: タップしても見えにくいようになったのでダウンロードにしました。）